티끌 속의 무한우주
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4.프랙탈 구조


석가모니는, 우주는 무한하지만 티끌과 같고 티끌 속에도 또한 무량우주가 있다고 가르친다. 즉, 그의 우주는 수평적으로 무한할 뿐 아니라 수직적으로도 프랙탈 구조로서 계속하여 이어진다.
잠시 여기서 프랙탈(fractal)이라는 용어에 관하여 스웨덴의 수학자 코흐가 고안해낸 일종의 초(超)눈송이의 예를 들어 설명해보자.

<참조: 아이작 아시모프 저, 「우주의 비밀」>
[먼저 정삼각형을 하나 그린다. 그리고 각 변을 3등분하고 그 중 가운데 부분을 밑변으로 하는 새로운 작은 정삼각형을 각 변 위에다 그린다.
그러면 그 모양은 6개의 팔을 가진 별 모양이 된다.
이번에는 6개의 팔인 각각의 정삼각형에서 바깥쪽 양변을 3등분하고 앞서와 마찬가지 방법으로 가운데 부분에 새로운 정삼각형을 그린다.
그러면 18개의 정삼각형으로 삐죽삐죽한 도형을 얻게 된다.
이번에는 그 18개의 정삼각형의 바깥쪽 양변을 3등분하여 같은 방법으로 새로운 정삼각형을 그려 나간다.
이런 식으로 계속해서 새로운 삼각형을 만들어 나간 것이 바로 초눈송이이다.
이런 도형에서는 처음의 삼각형이 아무리 크더라도 그리고 아무리 정교하게 그 위에 작도를 해 나간다 하더라도, 곧 새로운 삼각형들은 더 이상 손으로 그릴 수 없을 정도로 작아지고 만다.
기하학에서 점은 0차원이고, 선은 1차원이며, 평면은 2차원, 입체는 3차원이라고 정의한다.
그러나 초눈송이의 경계선은 끝없는 보풀이 일어있을 뿐 아니라 각 점에서 갑작스런 방향전환을 하기 때문에 그것을 정상적인 선으로 생각할 수 없고 그렇다고 평면이라고 할 수도 없다.
즉, 그것은 1과 2사이의 차원을 가지고 있는데, 프랑스 태생인 미국의 물리학자 망델브로는 그 차원을 log4를 log3으로 나눈 값으로 생각하는 것이 타당하다는 것을 밝혔다. 이 값은 약 1.26186이다. 따라서 초눈송이의 경계선은 1¼을 약간 넘는 차원을 가진다.
초눈송이와 같이 정수가 아니라 분수의 차원을 갖는 이러한 도형을 프랙탈이라고 부른다.

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