Infinity in a Speck

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4. 分形结构


释迦牟尼教诲说宇宙虽然无限,却和微尘一样,微尘中也有无量宇宙。
他的宇宙不但在水平线上无限延续,在垂直线上也无限延续。即,宇宙以分形结构永远延续。

在这里暂时就分形(fractal)这个单词用瑞典数学家科赫(Helge von Koch)想出的超级雪花去说明一下。

[首先画一个等边三角形。三等分每一边,每个边上再画一个以中间部分为底边的新的小等边三角形。
那么,那个形状就成为一个好像有六个手臂的六角星。
这回再三等分六角星的每个角上的小等边三角形的两边,和前面的画法一样以三等分的中间部分为底边画新的等边三角形。
那么,就可以得到18个凸出来的小等边三角形。
这回再三等分那18个等边三角形的两边,用同样的方法画新的等边三角形。
以此类推,一直做出新的三角形就是超级雪花。
在这样的图形里,即使第一个三角形再大、作图再精巧,也会马上因为小三角形变得太小而无法继续用手画下去。

几何学定义点是0次元,线是1次元,平面是2次元,立体是3次元。
但是超级雪花的警戒线起着无尽的毛边,而且在每个点又突然转变方向,所以我们不能把它想成一个正常的线,但也不能把他说成是一个平面。
即,它有着1次元和2次元之间的次元。法国出生的美国的物理学家曼德尔布罗特算出把这个次元想成log3除以log4的值比较妥当。
这个值约1.26186。所以超级雪花的警戒线拥有稍大于一和四分之一的一个次元。
像超级雪花这样不是拥有整数次元,而是拥有分数次元的图形称为分形。

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